Le “idee potenti” di Papert

Mi ero perso questo post rimasto in bozza. Il workshop che ho tenuto presso il Politecnico di Zurigo il 5 febbraio scorso – Exploring the land of powerful mathematical ideas with Logo’s Turtle (workshop N.5) – si è rivelato un’ottima occasione per approfondire e definire meglio vari concetti. In particolare mi ha consentito di affrontare un lavoro sistematico di “scavo” nella Turtle Geometry che ha fatto emergere una quantità sorprendente di quelle che Papert chiamava “idee potenti” o “idee matematiche potenti”, preziosissime e praticamente scomparse dal discorso intorno alla programmazione del computer a scuola – evito di proposito i termini che vanno di moda perché non ho intenzione di rimanervi intrappolato.

Qui ne voglio evidenziare una fra varie che dopo elencherò. E precisamente una di quelle che sembrano più ardite, pensando a un contesto di formazione primaria: l’idea di equazione differenziale. La questione emerge nel contesto di una tipica attività sintonica (nel senso di Papert), dove i bambini vengono accompagnati in attività che generano geometria giocando con il proprio corpo.

Non finirò mai di ringraziare la maestra Antonella Colombo per questa documentazione di pratiche sintoniche. Un grande regalo, nello spirito del riflesso dell’altro. Queste immagini non hanno bisogno di commenti. Ma dove sono le equazioni differenziali?

Papert si riferiva agli ambienti di apprendimento – Logo od altro – come “incubatori di idee potenti”. Le idee non si “trasferiscono”, figuriamoci il concetto di equazione differenziale a bambini di nove anni! La questione infatti non è quella di “spiegare le equazioni differenziali” ma di creare, o anche solo abbozzare, un dispositivo mentale che potrà un giorno ospitarle più facilmente. Forse una configurazione di una qualche rete sinaptica, una sorta di varco accennato in un cespuglio prima mai percorso.

Questo è esattamente il caso delle esperienze sintoniche della maestra Antonella.

Il punto chiave qui è che nelle istruzioni FORWARD 1 LEFT 1 non c’è alcun riferimento ad attributi globali che possano caratterizzare
il concetto di cerchio: nessuna menzione di un centro, nessuna menzione di un raggio. Alla Tartaruga viene data solo una “regola locale” e nient’altro: fai un piccolo passo e gira un pochino, sempre allo stesso modo. Poi viene fuori il cerchio.
Com’è possibile? Cosa ci sfugge? C’è qualcosa di impreciso? Qualcosa di “non abbastanza matematico”? Niente di tutto ciò. Questo tipo di descrizione locale è perfettamente legittima in matematica e ricade, appunto, nel dominio delle equazioni differenziali.
L’equazione differenziale del cerchio è la seguente:

\left\lVert\frac{d\vec{T}}{d\vec{S}}\right\rVert = k

dove k è una costante (nel caso del cerchio) che prende il nome di curvatura k = 1/r , dove r è il raggio. Dal punto di vista matematico, l’equazione è un’equazione differenziale perché mette in relazioni le variazioni di certe quantità con altri elementi. Nel nostro caso, discorrendo in termini intuitivi, l’equazione ci dice di quanto cambia la direzione (d\vec{T}) in corrispondenza di una data variazione di posizione (d\vec{S}) lungo la traiettoria, ovvero della lunghezza del passo della bambina. L’entità di tale variazione in un cerchio è fissa lungo tutto il contorno e vale k, che è la curvatura. (In termini più rigorosi l’equazione dice che la derivata del vettore unitario tangente in un punto rispetto alla posizione è costante e vale k).

Dicevamo che sono sorpredentemente numerose le idee potenti che la pratica di programmazione del computer può sottendere, se assistita da un mentore adeguatamente consapevole, non solo delle competenze specifiche ma anche dei processi mentali sottostanti e, soprattutto dei nessi fra discipline diverse che, molto spesso, tali pratiche sottendono. Purtroppo qui tocca evocare il molto citato, ma forse non sempre ben compreso, pensiero di Morin, quando denuncia il lutto della ricerca, causato dalla frammentazione del sapere in discipline impermeabili fra loro. Lutto che si propaga dalla ricerca all’insegnamento universitario e giù giù ai vari ordini di scuole.

Ecco alcuni esempi di alcune idee emerse fino ad ora da una serie di esperimenti didattici che sto esplorando. Va da sé che quasi nulla di ciò che è elencato qui sotto va esplicitato dal mentore. Ma ciò che fa la differenza è il fatto che egli sia consapevole di tali nessi, soffermandosi e indulgendo intorno a tali idee, rivisitandole a più riprese nell’ottica dello spiral curriculum di Bruner, con un ideale passaggio di testimone fra un ordine e l’altro di scuole.

  • Divide et impera (pensiero scientifico)
  • Paradigma della formazione della conoscenza scientifica (pensiero scientifico)
  • Concetto di “legge” (pensiero scientifico)
  • Dominio di una teoria scientifica: verità scientifica (pensiero scientifico)
  • Potere sintetico della matematica (pensiero matematico)
  • Isomorfismo (matematica)
  • Crescita lineare ed esponenziale (matematica)
  • Calcolo simbolico (algebra)
  • Equazioni differenziali (analisi matematica)
  • Concetto di integrazione (analisi matematica)
  • Approssimazioni successive (analisi matematica)
  • Frattali: infinito nel finito (analisi matematica, sistemi complessi)
  • Ruolo del caso in natura (sistemi complessi)
  • Ruolo dei feedback in natura (sistemi complessi)
  • Autosimilarità, regolarità nell’irregolarità, frattali (sistemi complessi)
  • Stato di un sistema (fisica e non solo)
  • Campi scalari e vettoriali (fisica)
  • Condizioni iniziali nei problemi (fisica)
  • Approccio computazionale vs algebrico (fisica)
  • Incapsulamento di funzionalità in nuovi comandi: (informatica)
  • Limiti della macchina (e della teoria): come può l’esecuzione di un programma diventare involontariamente una storia senza fine? (informatica)

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