Quando gli studenti preferiscono il foglio bianco di Logo

Il lavoro di Valentina va ad arricchire la raccolta di lavori interessanti fatti dagli studenti. Lei voleva realizzare una cartolina dalla quale gli oggetti dovevano come uscire fuori. Ma il suo contributo va al di là del logo prodotto per l’esame. Ricordavo che mi aveva detto qualcosa di interessante ma non ne ero più completamente sicuro, dopo alcuni mesi e centinaia di esami. Le ho quindi scritto:

Sto riguardando il lavoro che avevi fatto per il laboratorio di tecnologie didattiche che, come forse ti avevo accennato durante il colloquio dell’esame, vorrei includere fra i lavori sorprendenti dei miei studenti. Nei miei appunti ritrovo scritto che tu avevi fatto una considerazione interessante sul confronto tra Scratch e Logo. Ora mi pare che la tua considerazione fosse del tipo — …mi sento più libera in Logo che in Scratch, dove l’eccesso di informazioni mi inibisce: preferisco il “foglio bianco” di LibreLogo… — Però non sono proprio sicuro, potrei anche fare confusione con qualche altro studente.
Tu ti ricordi?

Ha risposto:

…certamente mi ricordo benissimo. Le confermo la mia considerazione. Ho trovato molto più stimolante Logo perché non era così scontato come l’altro e soprattutto molto più creativo e pieno di spunti interessanti, impressione che Scratch non mi aveva fatto.

Oggi le persone sono sommerse da stimoli, ambienti, strumenti, app che tendono a urlarti tutto quello che potresti fare. Leggevo stamani un’intervista fatta ad Angelo Guglielmi (92 anni ma sempre gagliardo):

— Sa che mi avevano proposto di insegnare televisione ai direttori Rai?
— E lei? Ha rifiutato?
— Ovvio. La verità è che io la televisione non la sapevo fare. Ed è per questa ragione che forse ho saputo farla. Cosa avrei dovuto insegnare?
— Ci sono scuole dove insegnano di tutto, creatività, fantasia, scrittura. Sul serio insegnare la spaventa?
— Non mi piace. L’unica cosa che non insegnano è la più semplice: mettetevi le mani tra i capelli e riflettete. Il segreto non è inventare ma dimenticare. Non può cominciare nulla se non dal bianco. Un suggerimento: dimenticate.

Stanislas Dehaene, in How we learn, scrive :

For instance, field experiments demonstrate that an overly decorated classroom distracts children and prevents them from concentrating.[1] Another recent study shows that when students are allowed to use their smartphones in class, their performance suffers, even months later, when they are tested on the specific content of that day’s class.[2] For optimal learning, the brain must avoid any distraction.

Dehaene, Stanislas. How We Learn (p.162). Penguin Books Ltd. Edizione del Kindle.
[1] An exceedingly decorated classroom distracts pupils: Fisher, Godwin, and Seltman, 2014.
[2] Use of electronic devices in class reduces exam performance: Glass and Kang, 2018.

L’eccesso di informazione non aiuta la creatività, che invece richiede spazio e tempo. Spazio da riempire, tempo per pensare. Lo spazio può essere quello del foglio su cui scrivere, versi, note, istruzioni software o altro, una tela da dipingere, spazio da vuotare, se occupato da un pezzo di marmo etc.

Interfacce zeppe di bottoni come corsi pieni di istruzioni per essere più creativi non rendono più creativi ma conformano.

Se incontri un professore che ti tratta come un bambino

Riprendo il post precedente e lo asciugo completamente, trascrivendo giusto la conlusione dell’articolo ivi citato, affidata completamente alle parole di Eleonora, ricevute in un messaggio quattro anni fa, a metà della mia prima edizione del Laboratorio di Tecnologie Didattiche. Le sue parole riassumono perfettamente quello che intendo dire quando affermo, ancor più sinteticamente, che per insegnare molto bene le tecnologie lavoro principalmente sulle emozioni.

“Ventitré anni, diciotto dei quali passati a studiare. Ultimo anno di università. Unico obiettivo: laurearsi. O meglio, laurearsi il prima possibile. Per togliermi il torpore di dosso delle  lezioni con le slides, lette alla penombra di un’aula semi deserta.  Per sfuggire all’impaginazione della mia testa, messa costantemente a dura prova dallo studiare pagine e pagine di libri che rimestano la stessa minestra, da cinque anni ormai. Per liberarmi da rigide impalcature di relazioni, piene di burocrazia e vuote di valori.

“Non siete più bambini” ci dicono. Dunque è questo quello che ci aspetta fuori? Una vita da adulti, persi a fare tutto (…a sapere tutto!!) e incapaci di fare niente?

Poi eccoti l’ennesimo Laboratorio, l’ennesimo massacro di massa in aula.

“Non è nemmeno in gruppi ristretti”

Annaspo.

“Laboratorio di Tecnologie didattiche”, recita il mio Piano di Studi.

Affogo!

Io di queste cose non ne so niente. Il panico che si trasforma nel motto “Questo lo boccio, questo lo punto solo a passare”. Il risultato finale: rassegnazione.

Poi le prime e-mail del professore. Dice di non voler gente a scaldare le sedie in aula (una frase celebre nella letteratura docente a scuola…), ma non prenderà nemmeno le firme degli studenti presenti. Anzi, il laboratorio potrà essere svolto anche in remoto, a casa, usando la piattaforma.

“Ma che tipo strano è mai questo…”

Così, incuriosita e spaventata, mi paleso in aula al primo incontro. Il professore è lì, sta disponendo i suoi oggetti sulla cattedra: dei dieci che tira fuori conosco al massimo le tre palline da giocoliere e i portatili. Ottimo: sento già l’acqua in gola. 

Si, ma che lezione strana è mai questa? Dove sono le slide da lettura monocorde? E i riferimenti bibliografici?

No, nulla di tutto questo. Ma solo una domanda: “Sapete cosa è questo?” No, non lo so. Perché sui trecento e passa libri che ho studiato non c’è nessun paragrafo dedicato a quella scatolina che – dice! – trasmette informazioni ai dispositivi che si collegano ad essa. La chiama “Pirate Box” – una specie di router. Interessante, la voglio provare… Come fa una bambina….

Poi ci chiede di installare LibreOffice sul nostro computer e iniziare a prendere confidenza con una piccola tartaruga chiamata Logo.

“Ora quando torno a casa ci provo…”

E la frittata è fatta: me ne innamoro a prima vista. Devo capire, devo capire come muovere questa tartaruga, come farle cambiare direzione, come colorare il suo tracciato. Devo, altrimenti non ne esco viva da questa situazione. Prendo il Piccolo Manuale di LibreLogo senza paura e lo apro: non inizio dalla prima pagina e vado a cercare le risposte alle mie domande. Non sottolineo, non mi faccio note a margine (mica lo devo sapere a pappagallo!) ma lo spulcio, lo interrogo e lui mi risponde solo dandomi indizi. Il resto viene da sé. Esploro come fa un bambino…

E scopro un mondo, un mondo pieno di spunti, di intuizioni: la mia mente viaggia alla velocità della luce, crea mille connessioni. Nessuna categoria, nessuna impaginazione mentale. La mia mente costruisce ponti e li demolisce, crea sinapsi, idee che mi brillano in testa. Sento il mio cervello annaspare, ma in senso buono: sto imparando dalla pratica, non solo dalla teoria. Libero i miei pensieri come se fossero un fiume in piena, come una pioggia di meteoriti. Penso come fa un bambino…

Faccio domande, cerco risposte, esploro e – a tentoni – cerco di aiutare anche gli altri compagni sulla mia “stessa barca”. Non ci riesco sempre, ma almeno ci provo. Provo ad aiutarli con la mia esperienza, e loro aiutano me con la loro. Bello questo lavoro di squadra. Come fanno i bambini….

Un passo indietro verso il futuro per una conoscenza peninsulare

L’ispirazione nel pensiero di Edgar Morin, Jerome Bruner, Seymour Papert e nell’opera che sta portando avanti Juraj Hromkovič della ETH di Zurigo con l’Ausbildung- und Beratungszentrum für Informatikunterricht ETH Zürich (ABZ).

Intorno allo sviluppo del pensiero scientifico attraverso la programmazione del computer, gli esercizi con il corpo, l’esplorazione delle forme e del loro divenire, la ricerca del bello.

Gli esiti attraverso le opere e le parole degli studenti: Antonella, Elena, Clarissa, Marta, Eleonora.

Un articolo per il convegno “Professione Insegnante: quali Strategie per la Formazione?“, organizzato dalla Conferenza dei Rettori delle Università Italiane e dal Centro di Ricerca Interuniversitario GEO – Giovani Educazione Orientamento – Napoli 15-17 giugno.

Articolo disponibile qui.

ceci n’est pas un magritte

Questo elaborato è eccellente in qualunque modo lo si consideri: la genesi dell’idea, il riferimento al contesto che stiamo vivendo, il collegamento al pensiero di un grande artista, il codice ottimo, la realizzazione minuziosa.

Risultati del genere sono possibili solo uscendo dal paradigma disciplinaristico che affligge l’Accademia e demolendo gli stereotipi che ne derivano: il “disciplinarista” – in questo caso di informatica – che cerca “di far capire qualcosa alle maestrine” – espressione orrida ma che ho sentito.

Il caso di Scienze della Formazione Primaria è esemplare per descrivere la segregazione disciplinare stigmatizzata da Morin: non si tratta di andare a insegnare una “informatica diminuita”, in miniatura (o una fisica o una matematica…), ma di creare un contesto nel quale coloro che dovranno insegnare ai bambini possano esprimersi creativamente, secondo i canoni di quella disciplina. Si tratta di creare una nuova informatica ad hoc, a partire sì dalle proprie competenze (ovvio) ma anche sulla base dell’ascolto delle persone a cui si dovrà insegnare. Altrimenti è tempo perso, delle volte anche dannosamente.

Riporto il brano dove Silvia Mobilio introduce il suo lavoro.

Dopo un po’ di riscaldamento iniziale con LibreLogo ho iniziato a pensare a quale sarebbe potuto essere l’ oggetto da rappresentare attraverso il logo. Fra mille idee e ripensamenti mi è venuta l’idea di una finestra, un elemento che fa parte della nostra quotidianità, ma che in momento critico come quello che stiamo vivendo di scontato non ha assolutamente nulla. Oltre ad essere stata cantata da poeti come Leopardi o rappresentata da artisti come Friedrich come il limite fisico che mette in moto l’immaginazione, oggi più che mai la finestra costituisce la cerniera tra l’interno e l’esterno. Quell’esterno che abbiamo dato per troppo tempo come scontato, ma che ora, affacciati ad una comune finestra, possiamo vedere in modo limitato, rappresentando per molti l’unica forma di contatto con il mondo fuori dalle mura domestiche. Ho quindi associato all’immagine della finestra quella di oggetto-limite, che può essere in grado di sviluppare la nostra facoltà immaginativa e in questa direzione mi è venuta in mente una frase di Antoine de Saint Exupery che recita così:

Un ammasso di roccia cessa di essere un mucchio di roccia nel momento in cui un solo uomo la contempla immaginandola, al suo interno, come una cattedrale”.


Inoltre, pensando alla finestra, mi è venuto in mente un quadro di Magritte di cui però non ricordavo il titolo. Allora ho cominciato a sfogliare un libro del noto artista surrealista che avevo a casa. Sfoglia, sfoglia, il mio sguardo si è fermato sul dipinto che avevo in mente: ‘Golconda’, un quadro dove sullo sfondo di un cielo chiaro con alcuni palazzi con numerose finestre, come gocce di pioggia, sembrano scendere dal cielo moltissimi uomini dipinti in maniera standardizzata: tutti equidistanti, indossano lo stesso abito nero con l’immancabile bombetta, posano tutti quanti con un portamento rigido, e l’unica variazione presente tra uomo e uomo è l’orientamento. Alcuni sono rivolti verso destra, altri invece verso sinistra, ma nessuno di loro guarda in alto o in basso, tutti chiusi nella loro solitudine. Questo quadro mi ha riportato emotivamente alla situazione difficile che stiamo attraversando ora: ognuno chiuso nella propria solitudine, dentro i confini del proprio corpo vulnerabile e della propria abitazione, ma tutti attori di un fiume umano dove, come nel quadro di Magritte, l’individualità sparisce e il mondo appare come una replica dove non esistono differenze.

Altro aspetto estremamente curioso, caro diario, è il titolo: Golconda infatti era un’antica città molto ricca dell’India, descritta dal pittore come una specie di miracolo, anche per la ricchezza dei suoi giacimenti di diamanti. E ricercando dunque il sottile collegamento tra il titolo e l’opera, Magritte stesso dichiara come sia un miracolo “poter camminare attraverso il cielo sulla terra”, riprendendo la dimensione surreale del dipinto e, aggiungo io, sottolineando il desiderio, quanto mai riferibile al momento che stiamo vivendo, di sognare e immaginare, sospesi come gocce d’acqua fra la terra e il cielo.

Così ho deciso di provare a realizzare questo quadro come logo. Inoltre, poiché sono molto appassionata di arte e i quadri di Magritte mi piacciono molto, ho pensato che, in un futuro, durante una lezione di arte, potrei mostrare ai bambini un dipinto e la sua riproduzione mediante l’utilizzo di LibreLogo. Un’altra attività interessante potrebbe essere quella di far disegnare ai bambini il proprio quadro facendo inserire loro forme e colori a proprio piacimento.

Ed ora eccomi pronta finalmente per iniziare il mio logo. Inizio a disegnare il rettangolo che costituirà il mio quadro. Dopodiché costruisco le case, disegnando un rettangolo e, usando la funzione ‘Repeat’, disegno i tetti delle case. Successivamente, scelgo i colori che più si avvicinano a quelli presenti nel quadro di Magritte, servendomi dei codici RGB trovati su internet. Inoltre, ho deciso di realizzare delle brevi didascalie per spiegare i vari procedimenti che ho messo in atto durante la creazione del logo con lo scopo di rendere più efficace la lettura dei vari comandi.

Doveva essere solo (altro stereotipo) un laboratorio da 3 CFU.

L’irrefrenabile creatività dei miei studenti

Mi rendo conto di essere sempre indietro nel documentare questa affascinante avventura di insegnamento che mi capita di vivere in questi anni. Recupero qui alcuni dei lavori proposti dai miei studenti, intorno alle attività di programmazione con Logo.

Colgo tuttavia l’occasione per chiarire che la creatività si libera non attraverso la mera “trasmissione di competenze” – certo che sì, anche, questa è la parte banale – ma grazie alla cura per un contesto di riferimento etico in grado di attivare l’intelligenza emotiva, senza la quale non v’è reale crescita né sviluppo di sapienza. Lo ha scritto perfettamente Martina Daraio nel suo elaborato:

Mi ha colpito, soprattutto, la concezione etica sulla quale è costruito tutto il corso. È il motivo per cui fin da subito questo laboratorio mi è sembrato diverso dal solito. Non avevo mai visto un approccio alla cultura di questo genere, fondato sulla condivisione, l’aiuto reciproco, ben lontano da qualsiasi scopo puramente egoistico di lucro e affermazione personale da parte di chi lo ha creato. Magari è solo una prima impressione, ma mi è sembrata così diversa questa visione della conoscenza, così dannatamente straordinaria.

È così che ogni tanto mi capitano elaborati densi e lunghi – il record è di 90 pagine (per tre CFU!) – con codici complessi – il record è di 1780 istruzioni (per i soliti 3 CFU!) – nei quali mi perdo, francamente felice. Scoprendo spesso cose che io stesso non avevo pensato si potessero fare…

Fra quelli che non voglio smarrire c’è quello di Elena Cantoni, ispirata dalla “Notte stellata” di van Gogh:


E poi “Notte stellata” rivisitata (indipendentemente l’anno successivo) da Diletta Socci alla maniera di Adam Lister:

E Marylin Monroe secondo Andy Warhol ricostruita da Clarissa Mazzoni così:

Il riflesso dell’altro

Il logo creato da Elena

Il grande assente da quasi tutti i discorsi intorno all’innovazione didattica e all’impiego delle tecnologie: l’ascolto. I numerosi feedback che ricevo da tanti studenti originano dall’ascolto, che pongo alla base di qualsiasi iniziativa o pratica. Poi forse dalla competenza, ma solo secondariamente. La competenza è necessaria ma senza ascolto produce risultati modesti. Per questo ogni tanto divulgo alcuni passaggi scritti dai miei studenti nei loro elaborati o nelle lettere che mi inviano, ove me ne diano il consenso. Questa volta è il turno di Elena Forzoni che ringrazio.

La seguente riflessione esprime uno dei risultati più gratificanti per un insegnante, quando l’allievo, nel pur breve tempo della convivenza didattica – due tre mesi in questo caso – trova il tempo di assimilare il senso profondo dell’insegnamento e di metterlo in pratica in situazione nel proprio lavoro o tirocinio.

Oggi mi sono soffermata a leggere il capitolo 11 del manuale ‘Girando in tondo: dal cerchio all’orbita di Halley[il link punta al corispondente capitolo del MOOC, dove ci si può iscrivere liberamente] dove la Maestra Antonella svolge preziose esperienze con i bambini. Quindi ho preso spunto da lei! Ho detto di voler vedere con i miei occhi, al tirocinio, se i bambini sono in grado di utilizzare LibreLogo, vediamo. Quest’anno sto seguendo una classe seconda primaria. Hanno appena iniziato a guardare la geometria sul libro , quindi ho proposto alla maestra di portarli in palestra. Li ho fatti posizionare con i piedi sopra una linea retta vicino al muro ed ho messo dei cerchi qualche metro più lontano da loro; uno alla volta ho chiesto loro di andare dalla linea retta in cui stavano in piedi al cerchio, svolgendo a proprio piacimento una linea retta, una linea curva, una linea spezzata o una linea chiusa. Ho appurato che hanno appreso divertendosi e successivamente sono riusciti a riportare sul quaderno dei concetti visti e sperimentati con il proprio corpo. Ho poi aperto il mio computer e scritto alla lavagna alcuni codici da utilizzare su LibreLogo, ho chiamato nuovamente un bambino alla volta e ho chiesto di disegnare con la tartaruga quello che preferivano: linea retta, linea chiusa, linea aperta ed ho visto con i miei occhi che fornendo loro i giusti mezzi sono in grado di fare tutto. È stato emozionante vederli così contenti di apprendere con l’utilizzo di nuovi semplici metodi.

E i pensieri che Elena esprime nel brano successivo sono una bella espressione delle conseguenze dell’ascolto praticato pervasivamente. Perché non sono aspetti collegati alla competenza – quella va data per scontata, è la parte ovvia del lavoro di insegnante. È invece qualcosa che attiene alla creazione di un’atmosfera, che può partire solo da atti iniziali che attengono all’ascolto. È qualcosa di caldo, la competenza è invece fredda e di per sé insufficiente ad alimentare una relazione educativa vera.

Il suo laboratorio è un laboratorio a tutti gli effetti dove inizialmente ci si spaventa, ma poi, piano piano e sbattendo la testa sulla tastiera, ci si appassiona. Credo che il suo laboratorio sia cosi entusiasmante perché Lei, Professore, ci infonde l’entusiasmo che ha. In poche lezioni ci ha fatto capire che tipo di persona è e che pensiero ha su molte cose della vita, bè sinceramente vorrei trasmettere ai bambini in una classe proprio quello che Lei ha trasmesso a me: quella voglia continua di imparare e di ragionare con la nostra testa anche se davanti ci si presenta un situazione difficile, di non arrendersi se una cosa non ci riesce alla prima, di non dare importanza a cose secondarie come un voto ma soffermarsi sul contenuto sopratutto con i bambini, di porsi alla classe con un metodo di insegnamento attivo, innovativo e allo stesso tempo volto verso i bambini più in difficoltà, partire proprio da loro. Potrei continuare, ma mi fermo qua. La ringrazio per avermi fatto scoprire la nostra amica Tartaruga, la sua geometria e tutti gli altri programmi che ci ha presentato, la ringrazio per non avermi fatto demordere grazie alle sue parole, anche se non rivolte direttamente a me, mi hanno incoraggiata ed ora sono qui a scrivere le conclusioni. Parlerò ed utilizzerò sicuramente molte delle cose che ci ha fatto scoprire durante le ore di laboratorio, quindi ne deduco che sia stato un laboratorio riuscito al 100%.

Grazie a tutti gli studenti che con i loro pensieri mi aiutano a orientare il lavoro, dandomi importanti conferme. Qui abbiamo usato il “semplice” (in realtà assai sofisticato nei fondamenti informatici e pedagogici) Logo, senza bisogno di servizi online e complicate interfacce grafiche. Possiamo continuare così…

Giove e le sue lune, di Ilaria

Ilaria Batazzi

Voglio dedicarmi un attimo ai lavori dei miei studenti, che ogni volta mi sorprendono. Un toccasana in questi tempi di barbarie. Ilaria Batazzi si è inventata questa rappresentazione di Giove e le sue lune principali, fatta tutta con LibreLogo. Il suo diario, 18 pagine di esperimenti e considerazioni intelligenti. Chi vuole può esplorarlo perché Ilaria ci ha dato il permesso.

Ma se invece di far scrivere i diari di sperimentazioni libere avessi preordinato un percorso standard con domandine finali per tre miseri crediti, magari a quiz, questi lavori non avrebbero visto la luce e io dei miei studenti non saprei quasi nulla…

La risposta definitiva al quesito di Marta

Il 6 novembre 2016, alle 22:03, ricevevo da una studentessa, Marta Veloce,  una decina di pagine di riflessioni in equilibrio fra esplorazione estetica e ragionamento geometrico. Lo scritto si concludeva con la formulazione di una congettura sulla chiusura delle figure geometriche emerse dalla sua esplorazione. Non era un compito assegnato ma un’iniziativa spontanea. E non è stato l’unico caso. Capita con una certa frequenza che gli studenti mi inviino considerazioni spontanee o approfondimenti, delle volte nella forma di testi al di fuori delle normali consegne, altre ad arricchire gli elaborati richiesti in vista degli esami.

Dedico quindi, per inciso, questo articolo a quei colleghi che sanno parlare solo in termini negativi delle “nuove generazioni”. Io dissento fermamente e mi pare di avere elementi molto solidi a favore di una visione completamente diversa, molto più ottimista. Del resto, va di moda parlare male, un po’ di tutto. Mi oppongo recisamente a questo triste e improduttivo costume.

Dunque Marta mi ha inviato il suo testo durante la prima edizione del Laboratorio di Tecnologie Didattiche a Scienze della Formazione Primaria il 6 novembre 2016. Il testo nella sua forma originale può essere letto nella sezione 10.2 del Piccolo Manuale di LibreLogo (7.2 MB). Qui voglio raccontare la storia, chi vuole capire le questioni matematiche può andare a leggere il capitolo 10 del manuale, in particolare la sezione 10.4.

In sostanza Marta disegna una casetta, tipico passaggio iniziale nel percorso di apprendimento di Logo.

FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100

mar-1

Marta si mette a giocare con questa casetta, come farebbe un bambino incuriosito e tranquillo – mostrando con questo di avere assimilato uno degli aspetti fondamentali che cerchiamo di evidenziare nel laboratorio. Fa ripetere il disegno più volte, scoprendo così che ogni volta viene disegnata un nuova casetta che tuttavia non si distingue, perché perfettamente sovrapposta alla precedente. Ma se dopo le seleziona e le sposta con il mouse, ecco che come in un gioco di prestigio si forma un villaggio. Insomma il fatto interessante è che Marta sperimenta con Logo ma sperimenta anche l’atteggiamento che immagina un giorno di indurre nei suoi bambini, mutatis mutandis.

Non paga di questa prima esplorazione ne prova un’altra, introducendo una deviazione arbitraria dopo avere disegnato una casetta e ripetendo il processo un numero indefinito di volte. Questo si realizza aggiungendo un’istruzione di deviazione, ad esempio RIGHT 30, dopo avere disegnato la casetta e ponendo il tutto in un ciclo REPEAT, come si vede dal codice seguente dove abbiamo evidenziato le nuove istruzioni:

REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]

A questo punto si lancia in una serie di prove e considerazioni geometriche, osservando cosa succede e cambiando l’angolo di deviazione finale – 30, 45, 60 ecc. – meravigliandosi per la varietà di forme che emergono.

mar-7
Questo è il disegno che viene con una deviazione finale di 70°

A furia di tentare nuove configurazioni si rende conto che la Tartaruga da principio svolge il disegno ma da un certo punto, quando questo ha raggiunto una sua naturale simmetria, lo ripercorre all’infinito, senza aggiungere più nulla di nuovo. E qui si pone la domanda: esiste una regola secondo la quale si possa prevedere quand’è che il disegno sarà completato?

Gradi rotazione rispetto alla verticale Numero di volte che il programma deve riavviarsi per tornare a posizione
”home”
15 24
30 12
60 3
70 36
100 9
120 6
240 6

Dopo avere compilato questa tabella conclude Marta:

Purtroppo non sembra emergere alcuna relazione. . . . E qui il pensiero si sofferma e prende respiro… Forse potremmo fare altre ipotesi?

Il mio dovere primario, nel (temporaneo) ruolo di professore universitario, è quello di rispondere agli studenti. Questo dovere supera quello della ricerca e supera anche la semplice “didattica erogativa”, in una scala di valore, perché la domanda difficile di uno studente rappresenta il premio di un percorso dove ricerca e insegnamento hanno innescato una scintilla creativa nella mente di un giovane. Non c’è niente di più alto e di più desiderabile.

Domande come quella di Marta sono destabilizzanti perché è difficile rispondere. A volte la risposta non è prontamente disponibile. Sono domande vere, domande di ricerca, per tentare di rispondere alle quali occorre onestà intellettuale e umiltà. In classe discutemmo approfonditamente la questione e spiegai subito che la soluzione vera, quella matematica io non l’avevo. Una soluzione matematica è quella che consente di risolvere il quesito in tutte le condizioni possibili. È una soluzione generale. In quella circostanza sviluppai una risposta che consentiva di rispondere al quesito di Marta ma solo nei casi da lei esplorati e esposti nella tabella alla fine del suo elaborato. Si trattava cioè di una soluzione euristica, ovvero una soluzione basata su ragionevoli intuizioni ma non ancora sostenuta da un’argomentazione teorica esaustiva. La risposta, ancorché insufficiente, aveva tuttavia valore didattico perché ci consentiva di mettere a fuoco il significato di verità matematica, tramite il concetto di soluzione euristica.

Successivamente, durante il corso di perfezionamento “Le competenze digitali nella scuola”, attivato presso il Dipartimento di Scienze della Formazione e Psicologia dell’Università di Firenze nell’anno accademico 2016/2017, sotto la direzione della collega Ranieri, uno dei corsisti, Alberto Averono riprese in mano la questione proponendo una soluzione informatica. L’idea era quella di fornire alla Tartaruga la capacità di riconoscere il proprio stato iniziale, in modo da potersi fermare esattamente in quel punto, a partire dal quale avrebbe solo potuto ripetere il percorso fatto. Una soluzione del genere può essere generata per via software, introducendo delle istruzioni che consentano di confrontare lo stato corrente della Tartaruga con quello iniziale. Queste considerazioni hanno consentito di mettere in luce due fatti molto importanti: il concetto di “stato” di un sistema, la Tartaruga in questo caso, e la nozione di numero digitale, quale pallida approssimazione dei numeri matematici. Questi fatti sono stati analizzati nella sezione 10.3 del Piccolo Manuale di LibeLogo. In ogni caso, anche se l’approfondimento di Alberto si è rivelato didatticamente assai proficuo, non ci ha fornito la soluzione matematica che desideravamo.

E infine è arrivata anche questa ma è stato necessario approfondire la teoria, cosa che non mi sarei mai aspettato di dover fare in queste circostanze. Non mi sarei messo a studiare la Turtle Geometry se non avessi ricevuto questo stimolo, perché cerco di stare attento a offrire conoscenze che abbiano qualche probabilità di essere utilizzate nel lavoro di insegnante. Ma una sola domanda è sufficiente a cambiare le carte in tavola e, a posteriori, riconosco che i frutti sono stati copiosi, anche al di là di quanto sto qui scrivendo.

Ebbene, le questioni affrontate da Marta in sostanza sono quelle che si sono posti Abelson e diSessa nel primo capitolo del loro trattato sulla Turtle Geometry (MIT Press, 1986). Nella sezione 10.4 della versione 1.1 del Piccolo Manuale di LibreLogo ho descritto in dettaglio i tratti essenziali della soluzione generale del problema di Marta, fornendo anche il codice per attuarla.

La soluzione del quesito si riduce a una regola assai semplice ma si basa su tre teoremi e un lemma. Il lettore non matematico, la norma qui, non si deve spaventare. Noi qui non ripercorriamo le dimostrazioni di questi teoremi, dovremmo divagare troppo. Per capire il significato di un teorema non occorre seguirne la dimostrazione, questa serve “solo” a garantire che il teorema sia vero: un lavoro fondamentale, ed è il matematico che si prende la briga di farlo. Talvolta le dimostrazioni di teoremi apparentemente semplici sono incredibilmente complesse, e poco hanno a che vedere con la comprensione del senso del teorema. Qui enunciamo i teoremi e descriviamo i concetti che vi compaiono perché questo serve a comprendere meglio il senso della Geometria della Tartaruga e del suo impiego didattico.

Teorema del percorso chiuso: La deviazione totale lungo un qualsiasi percorso chiuso è un multiplo intero di 360.

Questo teorema fornisce il contesto generale nel quale si inquadra la soluzione al nostro problema.

Il numero intero, che esprime il multiplo in questione si chiama “numero di rotazioni” (rotation number). Lo chiamiamo qui R.

Per deviazione totale (total turn) si intende la somma algebrica di tutti gli angoli di cui la Tartaruga ha ruotato lungo il percorso. Ad esempio il frammento di codice RIGHT 20 FORWARD 10 LEFT 5 produce una deviazione totale di 15° perché la somma algebrica delle deviazioni è pari a 20-5.

Un percorso si intende che sia chiuso qualora la Tartaruga si ritrovi esattamente nello stato da cui era partita. È bene capire che ciò non significa solo raggiungere il punto di partenza ma arrivarci anche con la medesima orientazione perché, ricordiamo, nella Geometria della Tartaruga conta lo “stato” che comprende sia posizione che direzione della Tartaruga. Il concetto di stato è fondamentale per tutte le scienze ed è importante approfittare di questa occasione per proporlo in modo semplice ai bambini.

Aiutiamoci con un disegno per comprendere il senso di questo teorema.

percorsi

Quali sono i percorsi aperti? Provate a immaginare i valori R dei percorsi chiusi. In fondo al post trovate la soluzione.

Teorema del percorso chiuso semplice: La deviazione totale lungo un qualsiasi percorso chiuso semplice è di 360°.

Qui, oltre alle definizioni precedenti va aggiunta quella di percorso chiuso semplice, che è un percorso senza alcun incrocio. Il segno è determinato dal verso di rotazione: positivo il senso orario, negativo quello antiorario.

Questo teorema è un caso particolare del precedente ed è quello che serve, ad esempio, per il calcolo degli angoli di deviazione nel disegno di un poligono regolare: essendo la deviazione totale sempre pari a 360°, dato il numero N di lati del poligono, e il fatto che tutte le singole deviazioni sono eguali fra loro, ciascuna di esse risulterà pari 360/N.

Teorema di chiusura di una procedura POLY: Un percorso tracciato da una procedura POLY si chiude esattamente quando la deviazione totale raggiunge un multiplo di 360°.

Ecco, qui Abelson e diSessa si pongono sostanzialmente la stessa domanda di Marta, ma a proposito di una “procedura POLY”, anziché di una casetta. Vediamo cos’è una procedura POLY e qual è il nesso con le casette di Marta. Una procedura POLY è del tipo

TO POLY LATO ANGOLO
REPEAT [
FORWARD LATO
RIGHT ANGOLO
]
END

oppure del tipo

TO POLY LATO ANGOLO
FORWARD LATO
RIGHT ANGOLO
POLI LATO ANGOLO
END

Le due versioni differiscono unicamente per il fatto che la prima usa il costrutto
REPEAT mentre la seconda impiega la ricorsione. È utile osservare che, dei due parametri richiesti da POLY, il primo, LATO, determina solo la scala del disegno, mentre il secondo, ANGOLO, determina la forma della figura. È su questo parametro che ci concentremo quindi nel seguito. Il parametro LATO può essere utilizzato liberamente per aggiustare la scala della figura ma non influenza in alcun modo la sua forma né, di conseguenza, la questione della chiusura della medesima.

Qui richiamo l’attenzione sul come un matematico non esiti a enunciare e dimostrare un teorema fra i cui elementi compare un frammento di codice, quale è POLY. Questo lo dico a coloro che amano dividere il mondo in pezzi: il coding non serve ma occorre concentrarsi sui fondamentali, matematica ecc. Sono atteggiamenti superficiali, dannosi e francamente irritanti.

Vediamo alcuni esempi realizzati con la procedura POLY, dove sotto ad ogni disegno è riportato il valore della variabile ANGOLO con cui è stato ottenuto.

poly1

Si invita il lettore a copiare uno dei semplici codici di POLY e a sperimentarli in LibreLogo.

Facendo girare la procedura POLY, la Tartaruga non si ferma dopo avere disegnato la figura ma la ripassa all’infinito perché è priva di un criterio di stop. Ma quand’è che la figura si chiude, nel senso che viene completata? Questo teorema fornisce il criterio fondamentale per rispondere alla domanda. Guardando i casi particolari raffigurati, vediamo che quando l’angolo è un sottomultiplo di 360 allora la figura è un poligono regolare. In questi casi il fatto è intuitivo: il poligono si chiude quando sono stati disegnati tutti i suoi lati, in pratica in un numero di passi pari a 360/ANGOLO. Quando invece l’angolo non è un sottomultiplo di 360 non è così semplice ma il teorema ci dice che in ogni caso la figura si chiuderà la prima volta che il numero di passi sarà eguale a un multiplo di 360.

Ma possiamo utilizzare questo teorema per rispondere al nostro quesito? Di fatto no, perché POLY non riproduce la struttura dei disegni di Marta, basati sul tracciamento della classica casetta più una deviazione finale. Tuttavia, fortunatamente, la Geometria della Tartaruga contiene anche un lemma (i lemmi sono teoremi che derivano molto direttamente da un altro teorema, non ci serve sapere altro a riguardo qui) che è, finalmente quello che fa al caso nostro:

Lemma: Qualsiasi programma costituito dalla ripetizione di un ciclo di base composto da comandi alla Tartaruga si comporta come un programma POLY al quale sia stato assegnato un angolo pari alla deviazione totale T di un singolo ciclo.

Conviene qui figurarsi cosa sia un “programma costituito dalla ripetizione di un ciclo di base composto da comandi alla Tartaruga”. Comandi alla Tartaruga sono per esempio quelli di direzione, RIGHT e LEFT, e quelli di movimento, FORWARD e BACK. Questi sono detti comandi di “cambiamento di stato”, perché sono in grado di alterare lo stato della Tarturga, determinato da posizione e direzione. Se chiamiamo GPOLY questo tipo di programma, questo ha una struttura del tipo seguente:

TO GPOLY LATO ANGOLO
REPEAT [
Qualsiasi sequenza di comandi di ”cambiamento di stato”
]
END

Come in POLY qui abbiamo i parametri LATO e ANGOLO ma non è affatto detto che siano necessari. Potremmo avere una sequenza di comandi di “cambiamento di stato” fissa, che non ha bisogno di parametri, come nell’esempio della casetta di Marta:

REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]

dove l’ultima istruzione è quella con cui Marta “perturbava” il ciclo di ripetizione delle casette. Inseriamo quindi questo frammento di codice in GPOLY:

TO GPOLY LATO ANGOLO
REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]
END

Con questo siamo arrivati in fondo alla storia, perché abbiamo ricondotto il quesito di Marta nell’ambito di una teoria dimostrata. Qui mi limito a enunciare il risultato, chi vuole sapere di più può andare a leggere le sezioni 10.3 e 10.4 del Piccolo Manuale di LibreLogo.

Il numero di cicli n necessari per chiudere la figura è data da

n=\mathrm{MCM}(T_m,360)/T_m

dove \mathrm{MCM}(n,m) rappresenta il minimo comune multiplo dei numeri interi n e m e T_m rappresenta la deviazione totale prodotta da ciascun ciclo.

Questa condizione di chiusura può essere facilmente codificata in Logo. Chi ci vuole provare può scaricare il programma GPOLY.odt che chiede la deviazione finale da usare nel codice di Marta poi calcola il numero di rotazione e disegna la figura. Il codice è visibile anche nella sezione 10.4 del Piccolo Manuale di LibreLogo.

Ci abbiamo messo più di un anno a rispondere alla domanda di Marta ma ne è valsa la pena perché abbiamo approfondito molti fatti interessanti.



Risposta alla domanda sui percorsi chiusi: 1: aperto; 2: $R=0$; 3: $R=3$; 4: $R=1$; 5: $R=3$; 6: $R=2$; 7: aperto; 8: $R=-1$.

Potete scrivere anche in altre lingue…

Uno studente straniero mi ha chiesto se può scrivere il suo elaborato in inglese. La risposta è sì. Anzi, colgo l’occasione per dire che potete scrivere il proprio contributo in una qualsiasi di queste lingue: italiano, inglese, tedesco, francese.

Gli elaborati degli studenti…

… sono spesso soprendenti. Dovrei farne una raccolta e renderli disponibili. Ci sono studenti già così esperti che mi vengono i brividi all’idea che avrei potuto imporre loro un “corso di informatica di base”. Il diritto d’autore e le Open Educational Resources  sono risultati i temi più stimolanti.

Agli studenti che si sono mostrati così sensibili alla questione del diritto d’autore rammento le seguenti letture.

Dal magazine online Owni:

Artist against copyright

o la versione originale in francese

Artistes contre le droit d’auteur

Il libro di Michele Boldrin e David K. levine

Abolire la proprietà intellettuale (Laterza, 2012). Qui ci sono dei brani.

Non si tratta di posizioni semplicistiche ma di autorevoli argomentazioni del fatto che il diritto d’autore crei più danni che benefici al progresso e anche ai vantaggi economici degli autori, eccetto che in alcuni casi particolari, troppo particolari…