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Il 6 novembre 2016, alle 22:03, ricevevo da una studentessa, Marta Veloce,  una decina di pagine di riflessioni in equilibrio fra esplorazione estetica e ragionamento geometrico. Lo scritto si concludeva con la formulazione di una congettura sulla chiusura delle figure geometriche emerse dalla sua esplorazione. Non era un compito assegnato ma un’iniziativa spontanea. E non è stato l’unico caso. Capita con una certa frequenza che gli studenti mi inviino considerazioni spontanee o approfondimenti, delle volte nella forma di testi al di fuori delle normali consegne, altre ad arricchire gli elaborati richiesti in vista degli esami.

Dedico quindi, per inciso, questo articolo a quei colleghi che sanno parlare solo in termini negativi delle “nuove generazioni”. Io dissento fermamente e mi pare di avere elementi molto solidi a favore di una visione completamente diversa, molto più ottimista. Del resto, va di moda parlare male, un po’ di tutto. Mi oppongo recisamente a questo triste e improduttivo costume.

Dunque Marta mi ha inviato il suo testo durante la prima edizione del Laboratorio di Tecnologie Didattiche a Scienze della Formazione Primaria il 6 novembre 2016. Il testo nella sua forma originale può essere letto nella sezione 10.2 del Piccolo Manuale di LibreLogo (7.2 MB). Qui voglio raccontare la storia, chi vuole capire le questioni matematiche può andare a leggere il capitolo 10 del manuale, in particolare la sezione 10.4.

In sostanza Marta disegna una casetta, tipico passaggio iniziale nel percorso di apprendimento di Logo.

FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100

Marta si mette a giocare con questa casetta, come farebbe un bambino incuriosito e tranquillo – mostrando con questo di avere assimilato uno degli aspetti fondamentali che cerchiamo di evidenziare nel laboratorio. Fa ripetere il disegno più volte, scoprendo così che ogni volta viene disegnata un nuova casetta che tuttavia non si distingue, perché perfettamente sovrapposta alla precedente. Ma se dopo le seleziona e le sposta con il mouse, ecco che come in un gioco di prestigio si forma un villaggio. Insomma il fatto interessante è che Marta sperimenta con Logo ma sperimenta anche l’atteggiamento che immagina un giorno di indurre nei suoi bambini, mutatis mutandis.

Non paga di questa prima esplorazione ne prova un’altra, introducendo una deviazione arbitraria dopo avere disegnato una casetta e ripetendo il processo un numero indefinito di volte. Questo si realizza aggiungendo un’istruzione di deviazione, ad esempio RIGHT 30, dopo avere disegnato la casetta e ponendo il tutto in un ciclo REPEAT, come si vede dal codice seguente dove abbiamo evidenziato le nuove istruzioni:

REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]

A questo punto si lancia in una serie di prove e considerazioni geometriche, osservando cosa succede e cambiando l’angolo di deviazione finale – 30, 45, 60 ecc. – meravigliandosi per la varietà di forme che emergono.

A furia di tentare nuove configurazioni si rende conto che la Tartaruga da principio svolge il disegno ma da un certo punto, quando questo ha raggiunto una sua naturale simmetria, lo ripercorre all’infinito, senza aggiungere più nulla di nuovo. E qui si pone la domanda: esiste una regola secondo la quale si possa prevedere quand’è che il disegno sarà completato?

Dopo avere compilato questa tabella conclude Marta:

Purtroppo non sembra emergere alcuna relazione. . . . E qui il pensiero si sofferma e prende respiro… Forse potremmo fare altre ipotesi?

Il mio dovere primario, nel (temporaneo) ruolo di professore universitario, è quello di rispondere agli studenti. Questo dovere supera quello della ricerca e supera anche la semplice “didattica erogativa”, in una scala di valore, perché la domanda difficile di uno studente rappresenta il premio di un percorso dove ricerca e insegnamento hanno innescato una scintilla creativa nella mente di un giovane. Non c’è niente di più alto e di più desiderabile.

Domande come quella di Marta sono destabilizzanti perché è difficile rispondere. A volte la risposta non è prontamente disponibile. Sono domande vere, domande di ricerca, per tentare di rispondere alle quali occorre onestà intellettuale e umiltà. In classe discutemmo approfonditamente la questione e spiegai subito che la soluzione vera, quella matematica io non l’avevo. Una soluzione matematica è quella che consente di risolvere il quesito in tutte le condizioni possibili. È una soluzione generale. In quella circostanza sviluppai una risposta che consentiva di rispondere al quesito di Marta ma solo nei casi da lei esplorati e esposti nella tabella alla fine del suo elaborato. Si trattava cioè di una soluzione euristica, ovvero una soluzione basata su ragionevoli intuizioni ma non ancora sostenuta da un’argomentazione teorica esaustiva. La risposta, ancorché insufficiente, aveva tuttavia valore didattico perché ci consentiva di mettere a fuoco il significato di verità matematica, tramite il concetto di soluzione euristica.

Successivamente, durante il corso di perfezionamento “Le competenze digitali nella scuola”, attivato presso il Dipartimento di Scienze della Formazione e Psicologia dell’Università di Firenze nell’anno accademico 2016/2017, sotto la direzione della collega Ranieri, uno dei corsisti, Alberto Averono riprese in mano la questione proponendo una soluzione informatica. L’idea era quella di fornire alla Tartaruga la capacità di riconoscere il proprio stato iniziale, in modo da potersi fermare esattamente in quel punto, a partire dal quale avrebbe solo potuto ripetere il percorso fatto. Una soluzione del genere può essere generata per via software, introducendo delle istruzioni che consentano di confrontare lo stato corrente della Tartaruga con quello iniziale. Queste considerazioni hanno consentito di mettere in luce due fatti molto importanti: il concetto di “stato” di un sistema, la Tartaruga in questo caso, e la nozione di numero digitale, quale pallida approssimazione dei numeri matematici. Questi fatti sono stati analizzati nella sezione 10.3 del Piccolo Manuale di LibeLogo. In ogni caso, anche se l’approfondimento di Alberto si è rivelato didatticamente assai proficuo, non ci ha fornito la soluzione matematica che desideravamo.

E infine è arrivata anche questa ma è stato necessario approfondire la teoria, cosa che non mi sarei mai aspettato di dover fare in queste circostanze. Non mi sarei messo a studiare la Turtle Geometry se non avessi ricevuto questo stimolo, perché cerco di stare attento a offrire conoscenze che abbiano qualche probabilità di essere utilizzate nel lavoro di insegnante. Ma una sola domanda è sufficiente a cambiare le carte in tavola e, a posteriori, riconosco che i frutti sono stati copiosi, anche al di là di quanto sto qui scrivendo.

Ebbene, le questioni affrontate da Marta in sostanza sono quelle che si sono posti Abelson e diSessa nel primo capitolo del loro trattato sulla Turtle Geometry (MIT Press, 1986). Nella sezione 10.4 della versione 1.1 del Piccolo Manuale di LibreLogo ho descritto in dettaglio i tratti essenziali della soluzione generale del problema di Marta, fornendo anche il codice per attuarla.

La soluzione del quesito si riduce a una regola assai semplice ma si basa su tre teoremi e un lemma. Il lettore non matematico, la norma qui, non si deve spaventare. Noi qui non ripercorriamo le dimostrazioni di questi teoremi, dovremmo divagare troppo. Per capire il significato di un teorema non occorre seguirne la dimostrazione, questa serve “solo” a garantire che il teorema sia vero: un lavoro fondamentale, ed è il matematico che si prende la briga di farlo. Talvolta le dimostrazioni di teoremi apparentemente semplici sono incredibilmente complesse, e poco hanno a che vedere con la comprensione del senso del teorema. Qui enunciamo i teoremi e descriviamo i concetti che vi compaiono perché questo serve a comprendere meglio il senso della Geometria della Tartaruga e del suo impiego didattico.

Teorema del percorso chiuso: La deviazione totale lungo un qualsiasi percorso chiuso è un multiplo intero di 360.

Questo teorema fornisce il contesto generale nel quale si inquadra la soluzione al nostro problema.

Il numero intero, che esprime il multiplo in questione si chiama “numero di rotazioni” (rotation number). Lo chiamiamo qui .

Per deviazione totale (total turn) si intende la somma algebrica di tutti gli angoli di cui la Tartaruga ha ruotato lungo il percorso. Ad esempio il frammento di codice RIGHT 20 FORWARD 10 LEFT 5 produce una deviazione totale di 15° perché la somma algebrica delle deviazioni è pari a .

Un percorso si intende che sia chiuso qualora la Tartaruga si ritrovi esattamente nello stato da cui era partita. È bene capire che ciò non significa solo raggiungere il punto di partenza ma arrivarci anche con la medesima orientazione perché, ricordiamo, nella Geometria della Tartaruga conta lo “stato” che comprende sia posizione che direzione della Tartaruga. Il concetto di stato è fondamentale per tutte le scienze ed è importante approfittare di questa occasione per proporlo in modo semplice ai bambini.

Aiutiamoci con un disegno per comprendere il senso di questo teorema.

Quali sono i percorsi aperti? Provate a immaginare i valori  dei percorsi chiusi. In fondo al post trovate la soluzione.

Teorema del percorso chiuso semplice: La deviazione totale lungo un qualsiasi percorso chiuso semplice è di 360°.

Qui, oltre alle definizioni precedenti va aggiunta quella di percorso chiuso semplice, che è un percorso senza alcun incrocio. Il segno è determinato dal verso di rotazione: positivo il senso orario, negativo quello antiorario.

Questo teorema è un caso particolare del precedente ed è quello che serve, ad esempio, per il calcolo degli angoli di deviazione nel disegno di un poligono regolare: essendo la deviazione totale sempre pari a 360°, dato il numero di lati del poligono, e il fatto che tutte le singole deviazioni sono eguali fra loro, ciascuna di esse risulterà pari .

Teorema di chiusura di una procedura POLY: Un percorso tracciato da una procedura POLY si chiude esattamente quando la deviazione totale raggiunge un multiplo di 360°.

Ecco, qui Abelson e diSessa si pongono sostanzialmente la stessa domanda di Marta, ma a proposito di una “procedura POLY”, anziché di una casetta. Vediamo cos’è una procedura POLY e qual è il nesso con le casette di Marta. Una procedura POLY è del tipo

TO POLY LATO ANGOLO
REPEAT [
FORWARD LATO
RIGHT ANGOLO
]
END

oppure del tipo

TO POLY LATO ANGOLO
FORWARD LATO
RIGHT ANGOLO
POLI LATO ANGOLO
END

Le due versioni differiscono unicamente per il fatto che la prima usa il costrutto
REPEAT mentre la seconda impiega la ricorsione. È utile osservare che, dei due parametri richiesti da POLY, il primo, LATO, determina solo la scala del disegno, mentre il secondo, ANGOLO, determina la forma della figura. È su questo parametro che ci concentremo quindi nel seguito. Il parametro LATO può essere utilizzato liberamente per aggiustare la scala della figura ma non influenza in alcun modo la sua forma né, di conseguenza, la questione della chiusura della medesima.

Qui richiamo l’attenzione sul come un matematico non esiti a enunciare e dimostrare un teorema fra i cui elementi compare un frammento di codice, quale è POLY. Questo lo dico a coloro che amano dividere il mondo in pezzi: il coding non serve ma occorre concentrarsi sui fondamentali, matematica ecc. Sono atteggiamenti superficiali, dannosi e francamente irritanti.

Vediamo alcuni esempi realizzati con la procedura POLY, dove sotto ad ogni disegno è riportato il valore della variabile ANGOLO con cui è stato ottenuto.

Si invita il lettore a copiare uno dei semplici codici di POLY e a sperimentarli in LibreLogo.

Facendo girare la procedura POLY, la Tartaruga non si ferma dopo avere disegnato la figura ma la ripassa all’infinito perché è priva di un criterio di stop. Ma quand’è che la figura si chiude, nel senso che viene completata? Questo teorema fornisce il criterio fondamentale per rispondere alla domanda. Guardando i casi particolari raffigurati, vediamo che quando l’angolo è un sottomultiplo di 360 allora la figura è un poligono regolare. In questi casi il fatto è intuitivo: il poligono si chiude quando sono stati disegnati tutti i suoi lati, in pratica in un numero di passi pari a 360/ANGOLO. Quando invece l’angolo non è un sottomultiplo di 360 non è così semplice ma il teorema ci dice che in ogni caso la figura si chiuderà la prima volta che il numero di passi sarà eguale a un multiplo di 360.

Ma possiamo utilizzare questo teorema per rispondere al nostro quesito? Di fatto no, perché POLY non riproduce la struttura dei disegni di Marta, basati sul tracciamento della classica casetta più una deviazione finale. Tuttavia, fortunatamente, la Geometria della Tartaruga contiene anche un lemma (i lemmi sono teoremi che derivano molto direttamente da un altro teorema, non ci serve sapere altro a riguardo qui) che è, finalmente quello che fa al caso nostro:

Lemma: Qualsiasi programma costituito dalla ripetizione di un ciclo di base composto da comandi alla Tartaruga si comporta come un programma POLY al quale sia stato assegnato un angolo pari alla deviazione totale di un singolo ciclo.

Conviene qui figurarsi cosa sia un “programma costituito dalla ripetizione di un ciclo di base composto da comandi alla Tartaruga”. Comandi alla Tartaruga sono per esempio quelli di direzione, RIGHT e LEFT, e quelli di movimento, FORWARD e BACK. Questi sono detti comandi di “cambiamento di stato”, perché sono in grado di alterare lo stato della Tarturga, determinato da posizione e direzione. Se chiamiamo GPOLY questo tipo di programma, questo ha una struttura del tipo seguente:

TO GPOLY LATO ANGOLO
REPEAT [
Qualsiasi sequenza di comandi di ”cambiamento di stato”
]
END

Come in POLY qui abbiamo i parametri LATO e ANGOLO ma non è affatto detto che siano necessari. Potremmo avere una sequenza di comandi di “cambiamento di stato” fissa, che non ha bisogno di parametri, come nell’esempio della casetta di Marta:

REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]

dove l’ultima istruzione è quella con cui Marta “perturbava” il ciclo di ripetizione delle casette. Inseriamo quindi questo frammento di codice in GPOLY:

TO GPOLY LATO ANGOLO
REPEAT [
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 90
FORWARD 100
RIGHT 30
FORWARD 100
RIGHT 120
FORWARD 100
RIGHT 30
]
END

Con questo siamo arrivati in fondo alla storia, perché abbiamo ricondotto il quesito di Marta nell’ambito di una teoria dimostrata. Qui mi limito a enunciare il risultato, chi vuole sapere di più può andare a leggere le sezioni 10.3 e 10.4 del Piccolo Manuale di LibreLogo.

Il numero di cicli necessari per chiudere la figura è data da

dove rappresenta il minimo comune multiplo dei numeri interi e e rappresenta la deviazione totale prodotta da ciascun ciclo.

Questa condizione di chiusura può essere facilmente codificata in Logo. Chi ci vuole provare può scaricare il programma GPOLY.odt che chiede la deviazione finale da usare nel codice di Marta poi calcola il numero di rotazione e disegna la figura. Il codice è visibile anche nella sezione 10.4 del Piccolo Manuale di LibreLogo.

Ci abbiamo messo più di un anno a rispondere alla domanda di Marta ma ne è valsa la pena perché abbiamo approfondito molti fatti interessanti.

Risposta alla domanda sui percorsi chiusi: 1: aperto; 2: $R=0$; 3: $R=3$; 4: $R=1$; 5: $R=3$; 6: $R=2$; 7: aperto; 8: $R=-1$.