Statico/dinamico

Dove racconto di un’esperienza molto divertente occorsa durante la pandemia, con qualche riflessione didattico scientifica, ovvero STEM, come si dice oggi, o anche STEAM: Science, Technology, Engineering, Art and Math. L’esplorazione è alla portata di studenti degli ultimi anni della scuola di secondo grado.

Helsinki, novembre 2019: a colazione mi capita di raccontare a due colleghe le meraviglie della Spira Mirabilis di Jacob Bernoulli. Un oggetto affascinante, nella sua ambiguità, dove nel finito si cela l’infinito, lo statico evoca il dinamico, l’autosomiglianza conduce alla ricorsione, che si trova celata in innumerevoli forme naturali.

Ad un certo punto appare un signore gentile che si scusa per avere orecchiato — in cuor mio subito mi pento del volume intrusivo della mia voce — ma desidera dire di avere trovato interessante la descrizione “naturale” di fatti matematici. Fra bambini curiosi ci si intende rapidamente. Jacques Toussaint esplora da una vita i territori dell’arte e del design. Veniamo quindi da percorsi diversi ma la comune curiosità alimenta uno scambio di idee nei successivi mesi pandemici. Ci mettiamo a ragionare sul suo “Elemento statico-dinamico”:

Un’immagine adeguata di questa opera si trova nel sito di Toussaint, è la N. 9 di questo slideshow.

Siamo lontani e il covid ci blocca ma non impedisce di realizzare un modello digitale 3D (realizzato con Tinkercad) e di farselo stampare e inviare per posta:

L’elemento statico-dinamico di Toussaint è così diventato un balocco che mi porto sempre in tasca. Giocandoci finisco col conoscerlo meglio e scopro che ha un caratterino bislacco, ambiguo se si vuole, come quello della spira mirabilis. Bipede, perché poggia sempre attraverso due soli punti, uno per ciascuno dei due semicerchi che lo compongono, ma sempre zoppo: sul vertice di un semicerchio e su qualche punto dello spigolo rotondo dell’altro. Bislacco e schizzinoso, perché non sta fermo volentieri, anche se in sé non ha alcun motore. Inequivocabilmente statico ma assai dinamico se disturbato. Delle infinite posizioni di cui dispone ne predilige due sole, rifuggendo prontamente da tutte le altre.

Lo potremmo anche definire pendolo doppio perché si comporta come un pendolo con due posizioni di riposo, le due sole possibili con un semicerchio verticale e l’altro orizzontale.

Ma è quando lo si forza a percorrere i suoi stati dinamici che svela tutta la sua indole bislacca, muovendosi come ubriaco e di maniera imprevedibile, quando frenando improvvisamente, quando inspiegabilmente sostenendo il moto.

Sensibilissimo alle irregolarità del piano accelera repentino alla minima pendenza in discesa.

La domanda sorge spontanea: ma che razza di moto è quello di statico-dinamico? In sostanza statico-dinamico produce due tracce fatte da successioni di archi di cerchio che vengono percorse in modo alterno: quando ruota su uno dei semicerchi fa perno fisso su uno dei vertici dell’altro, e viceversa, danzando fra i due opposti movimenti di rotazione.

Viene qui comoda la Geometria della Tartaruga (Turtle Geometry) con la quale si possono produrre figure geometriche disegnate immedesimandosi in un’immaginaria tartaruga che traccia le figure con il suo movimento. È una geometria che ha dato vita a linguaggi di programmazione didattici come Logo o Scratch. È anche perfetta per mostrarci le tracce di statico-dinamico, identificando ciascuno dei suoi due punti di contatto con due tartarughe, rossa e verde. In questo video si vede il risultato di una simulazione realizzata con il modulo Turtle di Python (successivamente distribuirò qui il codice).

Si chiarisce così che quello che pareva un movimento ubriaco è piuttosto una danza dei punti di appoggio.

E non si pensi che non costi fatica a statico-dinamico muoversi in questo modo. Potremmo pensare che, nel suo insieme, l’elemento proceda in linea retta ovvero che il suo baricentro proceda in tal modo, baricentro che, per ovvie considerazioni di simmetria si trova nel punto di contatto fra i due semicerchi. Invece no, il baricentro segue a sua volta una linea ondulata, fatta anch’essa di semicerchi alterni più piccoli (della metà):

Il moto, benché convoluto, ha quindi una sua regolarità. Tuttavia, come abbiamo visto prima, l’interazione con il piano di appoggio è complessa perché estremamente sensibile alle irregolarità anche minime del piano e dei contorni dell’elemento stesso. Il disegno delle tracce è facile da descrivere ma quando l’elemento, rallentando, arriva a scambiare i ruoli dei due semicerchi, si verifica un punto di massima incertezza, proprio al contrario dei due punti di stabilità. I due punti di passaggio da un semicerchio all’altro corrispondono a quando l’elemento poggia precisamente su due vertici, uno di un semicerchio e uno dell’altro. Lì deve decidere, se fermarsi e tornare indietro a cercare il punto di equilibrio del primo semicerchio, oscillandoci intorno come abbiamo visto all’inizio, oppure affrontare il nuovo, lanciandosi alla ricerca del punto di equilibrio del prossimo semicerchio.

Ecco, qui siamo nel dominio dell’incerto, dove non c’è equazione che tenga, perché troppi e troppo minuti sono i fattori che possono determinare la scelta dell’elemento, attriti, irregolarità casuali. Una piccola finestra sulla complessità, generata da un oggetto che pareva essere perfettamente descrivibile, conoscendo il pi greco e la radice di due…

Ci parla di tante cose statico-dinamico. Ad esempio del carattere bizzoso che lo può fare apparire un’eccezione. l’uomo disperso nei flutti della complessità cerca disperatamente regolarità e tende a classificare ogni anomalia come stranezza o eccezione. Invece no, la scienza del ‘900 proprio questo ci dice: il prevedibile è l’eccezione, il resto è imprevedibile.

In fin dei conti, statico-dinamico descrive bene l’esperienza umana con radi punti di equilibrio dispersi in un continuo di incertezza e punti dove necessita di prendere decisioni impossibili, dove non c’è manuale che tenga.

Ma ci dice anche questo: fai incontrare due curiosi e il divertimento è assicurato!

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Equazioni delle tracce

Tutto dipende dal raggio dei semicerchi che compongono statico-dinamico. Se guardiamo la proiezione laterale di statico-dinamico nella sua posizione di riposo:

comprendiamo come gli archi di cerchio che compongono le tracce sul piano abbiano raggio . Vediamo ora la forma delle tracce disegnate da statico-dinamico sul piano.

Da questo troviamo:

• Il semiperiodo della successione di semicerchi di ciascuna traccia
• L’ordinata dell’asse orizzontale su cui poggiano le tracce. Per la traccia rossa: ; ovviamente sarà per la traccia verde.

Se chiamiamo la traccia rossa e quella verde abbiamo

,

,

con .

---

Codice Python con libreria Turtle

Il seguente codice è servito per produrre il video precedente Tracce elemento-statico-dinamico e baricentro.

# Tracce elemento-statico-dinamico di Jacques Toussaint e baricentro
# Copyright Andreas Robert Formiconi 2021
# Rilasciato con licenza GPL v.3.0

from turtle import *
import math

offx = 0.4 * window_width()

sc = 2.
r = 20 # mm
R = r*math.sqrt(2.) * sc
S = R * math.sin(math.pi/2.*(1-1/math.sqrt(2.)))
T = R * math.cos(math.pi/2.*(1-1/math.sqrt(2.)))
k = 0

print("r=", r, " R=", R, " S=", S, " T=", T, " alfa=", math.pi/2.*(1-1/math.sqrt(2.)))

red = Turtle()
red.color("red")
red.pencolor("red")
red.penup()
red.setpos(- T - offx, math.sqrt(R*R-T*T))
red.pendown()
red.setheading(0)
red.speed(-1)

green=Turtle()
green.color("green")
green.pencolor("green")
green.penup()
green.setpos(0 - offx, -math.sqrt(R*R-T*T))
green.pendown()
green.setheading(0)
green.speed(-1)

blue = Turtle()
blue.color("blue")
blue.pencolor("blue")
blue.penup()
blue.setpos(- T/2 - offx, 0)
blue.pendown()
blue.setheading(0)
blue.speed(-1)

violet = Turtle()
violet.color("violet")
violet.pencolor("violet")
violet.penup()
violet.setpos(- T/2 - offx, 0)
violet.pendown()
violet.setheading(0)
violet.speed(-1)


k = 0
while k < 5:
    i = 0
    ix = 0.
    while i < 100:
        xx = -T * (1 - 2*ix) + 2 *k*T - offx
        yy = math.sqrt(R * R - (xx - 2. * k * T + offx)**2)
        xb = -T * (1 - 2*ix)/2 + k*T - offx
        yb = math.sqrt(R * R/4 - (xb - k * T + offx)**2) - S/2
        red.goto(xx, yy)
        blue.goto(xb + T * k, yb)
        violet.goto(xb + T * k, 0)
        if (red.xcor() - 2*k*T + offx) != 0.:
            if (red.xcor() - 2*k*T + offx) < 0.:
                hh = 90 + math.atan(red.ycor()/(red.xcor() - 2*k*T + offx))/math.pi*180
            else:
                hh = -90 + math.atan(red.ycor()/(red.xcor() - 2*k*T + offx))/math.pi*180
        else:
            hh = 0
        red.setheading(hh)
        green.setheading(hh+90)  
        blue.setheading(hh)
        i += 1
        ix += .01

    i = 0
    ix = 0.
    while i < 100:
        xx = 2 * T * ix + 2*k*T - offx
        yy = -math.sqrt(R * R - (xx - (2. * k + 1 )* T + offx)**2)
        xb = -T * (1 - 2*ix)/2 + k*T - offx
        yb = - math.sqrt(R * R/4 - (xb - k * T + offx)**2) + S/2
        green.goto(xx, yy)
        blue.goto(xb + T * (k + 1), yb)
        violet.goto(xb + T * (k + 1), 0)
        if (green.xcor() - (2. * k + 1 )* T + offx) != 0.:
            if (green.xcor() - (2. * k + 1 )* T + offx) < 0.:
                hh = -180 + math.atan(green.ycor()/(green.xcor() - (2. * k + 1 )* T + offx))/math.pi*180 #+ 90 - 63
            else:
                hh = math.atan(green.ycor()/(green.xcor() - (2. * k + 1 )* T + offx))/math.pi*180 #+ 90 - 63
        else:
            hh = -90
        green.setheading(hh+90)
        red.setheading(hh)
        blue.setheading(hh+90)
        i += 1
        ix += .01
    k += 1

done()